TUGAS ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR

TRANSFORMASI LINEAR

Fungsi dari Rⁿ ke R^m

Jika daerah asal suatu fungsi f adalah Rⁿ dan daerah kawannya adalah R^m (m dan n mungkin sama), maka f disebut suatu peta atau transformasi dari Rⁿ ke R^m dan dikatakan bahwa f memetakan Rⁿ ke R^m.

Untuk mengilustrasikan suatu cara penting dimana transformasi bisa muncul, anggap f₁, f₂, …, f_n adalah fungsi-fungsi bernilai real dari n peubah real:

w₁ = f₁(x₁, x₂, …, x_n)

w₂ = f₂(x₁, x₂, …, x_n)

…

w_m = f_m(x₁, x₂, …, x_n)

m persamaan tersebut menempatkan suatu titik (w₁, w₂, …, w_m) dalam R^m ke setiap titik (x₁, x₂, …, x_n) dalam Rⁿ, yang mendefinisikan suatu transformasi dari Rⁿ ke R^m, yang dapat dinyatakan sebagai:

T(x₁, x₂, …, x_n) = (w₁, w₂, …, w_m)

dimana T adalah transformasi yang terbentuk.

Contoh:

Diketahui transformasi T:R² à R³ _­ yang didefinisikan sebagai berikut:

w­₁ = x₁ + x₂

w₂ = 3x₁x₂

w₃ = x₁² – x₂²

maka bayangan titik (x₁,x₂) adalah:

T(x₁,x₂) = (x₁ + x₂, 3x₁x₂, x₁² – x₂²)

Jika diandaikan x₁=2 dan x₂=-1, maka T(2,-1) = (1, -6, 3)

Transformasi Linear dari Rⁿ ke R^m

Untuk transformasi linear, secara umum T:Rⁿ à R^m dapat didefinisikan sebagai berikut:

w₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n

w₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2nx_n

…

w_m = a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n

atau dalam notasi matriks:

atau dapat diringkas menjadi:

W = A.x

dimana A adalah matriks standar untuk transformasi linear T

Contoh:

Transformasi linear T:R⁴ à R³ didefinisikan oleh:

w₁ = 2x₁ – 3x₂ + 5x₃

w₂ = 5x₁ – x₂ + 3x₃ + 2x₄

w₃ = 4x₂ + x₃ + 4x₄

Ketiga persamaan tersebut dapat dinotasikan sebagai:

Sehingga matriks standar untuk transformasi tersebut adalah: A =

Bayangan titik (x₁, x₂, x₃, x₄) dapat dihitung dari ketiga persamaan awal atau dari notasi matriksnya.

Jika (x₁, x₂, x₃, x₄) = (1, -1, 2, 0) maka hasil transformasinya adalah:

Macam-macam Transformasi Linear

Terdapat 4 transformasi linear yang dibahas yaitu:

1.    Refleksi (Pencerminan)

2.    Proyeksi

3.    Rotasi (Perputaran)

4.    Dilatasi (Penskalaan)

Refleksi (Pencerminan)

Refleksi di R² terbagi menjadi 3 yaitu:

·        

Titik awal: (x,y) Titik akhir: (-x,y) Persamaan: w1 = -x                  w2 = y Matriks standar:

Refleksi terhadap sumbu y

·        

Titik awal: (x,y) Titik akhir: (x,-y) Persamaan: w1 = x                  w2 = -y Matriks standar:

Refleksi terhadap sumbu x

·         Refleksi terhadap garis x = y

Titik awal: (x,y) Titik akhir: (y,x) Persamaan: w1 = y                  w2 = x Matriks standar:

Refleksi di R³ terbagi menjadi 3 yaitu:

·        

Titik awal: (x,y,z) Titik akhir: (x,y,-z) Persamaan: w1 = x                  w2 = y                  w2 = -z Matriks standar:

Refleksi terhadap bidang xy

·         Refleksi terhadap bidang xz

Titik awal: (x,y,z) Titik akhir: (x,-y,z) Persamaan: w1 = x                  w2 = -y                  w2 = z Matriks standar:

·         Refleksi terhadap bidang yz

Titik awal: (x,y,z) Titik akhir: (x,y,-z) Persamaan: w1 = -x                  w2 = y                  w2 = z Matriks standar:

Proyeksi

Proyeksi di R² terbagi menjadi 2 yaitu:

·         Proyeksi terhadap sumbu x

Titik awal: (x,y) Titik akhir: (x,0) Persamaan: w1 = x                  w2 = 0 Matriks standar:

·         Proyeksi terhadap sumbu y

Titik awal: (x,y) Titik akhir: (0,y) Persamaan: w1 = 0                  w2 = y Matriks standar:

Proyeksi ortogonal di R³ terbagi menjadi 3 yaitu:

·        

Titik awal: (x,y,z) Titik akhir: (x,y,0) Persamaan: w1 = x                  w2 = y                  w2 = 0 Matriks standar:

Proyeksi ortogonal terhadap bidang xy

·        

Titik awal: (x,y,z) Titik akhir: (x,0,z) Persamaan: w1 = x                  w2 = 0                  w2 = z Matriks standar:

Proyeksi ortogonal terhadap bidang xz

·         Proyeksi ortogonal terhadap bidang yz

Titik awal: (x,y,z) Titik akhir: (0,y,z) Persamaan: w1 = 0                  w2 = y                  w2 = z Matriks standar:

Rotasi (Perputaran)

Rotasi dengan sudut q di R² adalah:

Titik awal: (x,y) Titik akhir: (w1,w2) Matriks standar: Searah:

Rotasi di R³ terbagi menjadi 3 yaitu:

·         Rotasi berlawanan dengan jarum jam terhadap sumbu x positif dengan sudut q

Titik awal: (x,y) Titik akhir: (w1,w2,w3) Matriks standar:

·         Rotasi berlawanan dengan jarum jam terhadap sumbu y positif dengan sudut q

Titik awal: (x,y) Titik akhir: (w1,w2,w3) Matriks standar:

·         Rotasi berlawanan dengan jarum jam terhadap sumbu z positif dengan sudut q

Titik awal: (x,y) Titik akhir: (w1,w2,w3) Matriks standar:

Dilatasi (Penskalaan)

Dilatasi di R² terbagi menjadi 2 yaitu:

·        

Titik awal: (x,y) Titik akhir: (kx,ky) Persamaan: w1 = kx                  w2 = ky Matriks standar:

Penyempitan dengan faktor k pada R² (0 £ k £ 1)

·        

Titik awal: (x,y) Titik akhir: (kx,ky) Persamaan: w1 = kx                  w2 = ky Matriks standar:

Pelebaran dengan faktor k pada R² (k ³ 1)

Dilatasi di R³ terbagi menjadi 2 yaitu:

·         Penyempitan dengan faktor k pada R³ (0 £ k £ 1)

Titik awal: (x,y,z) Titik akhir: (kx,ky,kz) Persamaan: w1 = kx                  w2 = ky                  w3 = kz Matriks standar:

·         Pelebaran dengan faktor k pada R³ (k ³ 1)

Titik awal: (x,y,z) Titik akhir: (kx,ky,kz) Persamaan: w1 = kx                  w2 = ky                  w3 = kz Matriks standar:

Komposisi Transformasi Linear

Komposisi transformasi linear merupakan perpaduan dua atau lebih transformasi linear.

T₁ : à , T₂ : à , …, T_z : à

Dituliskan sebagai:

(T_z o ... o T₂ o T­₁) (x) = T_z(...(T₂(T₁(x))...)