TUGAS ALJABAR LINEAR DETERMINAN

Determinan

1.    Fungsi determinan

Sebelum memepelajari fungsi determinan, harus kenal terlebih dahulu tentang permutasi.

Perhatikan definisi dibawah ini

DEFINISI 2.1.1 Permutasi suatu himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …., n} adalah suatu

susunan bilangan-bilangan bulat dalam suatu urutan tanpa pengulangan

Akan lebih jelas, perhatikan contoh dibawah ini

CONTOH 2.1.1 Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3}

permutasi tersebut adalah

(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)

CONTOH 2.1.2 Ada 24 permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, 4},

permutasi tersebut adalah

(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2)

(2, 1, 3, 4), (2, 1, 4, 3), (2, 3, 1, 4), (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (2, 4, 3, 1)

(3, 1, 2, 4), (3, 1, 4, 2), (3, 2, 1, 4), (3, 2, 4, 1), (3, 4, 2, 1), (3, 4, 1, 2)

(4, 1, 2, 3), (4, 1, 3, 2), (4, 2, 3, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 3, 2, 1), (4, 3, 1, 2)

Metode yang lebih mudah, yaitu dengan menggunakan pohon permutasi, seperti pada Gambar

2.1

Dari contoh diatas, ada 24 permuatasi dari {1, 2, 3, 4}. Hasil tersebut merupakan perkalian dari posisi, yaitu posisi pertama terdiri dari empat, posisi kedua terdiri dari tiga, posisi ketiga terdiri dari dua dan posisi ke-empat hanya satu atau dapat ditulis

permutasi - empat = 4.3.2.1 = 4! = 24

Untuk permutasi n bilangan yang berbeda, dapat dicari dengan cara yang sama, yaitu

Selanjutnya akan dibahas tentang pembalikan. Pembalikan adalah suatu urutan bilangan besar mendahului bilangan yang lebih kecil. Sedangkan jumlah pembalikan adalah banyaknya bilangan yang lebih besar menadahuli bilangan yang lebih kecil. Lebih lengkapnya perhatikan contoh dibawah ini.

CONTOH 2.1.3 Hasil permutasi adalah

(6, 1, 4, 3, 2, 5)

·         bilangan 6, mendahului bilangan 1, 2,3,4, dan 5, sehingga ada 5 pembalikan.

·         bilangan 5, tidak mendahului

·         bilangan 4, mendahului 3,2,, sehingga ada 2 pembalikan

·         bilangan 3, mendahului 2, sehingga ada satu pembalikan

·         bilangan 2, tidak mendahului, begitu juga bilangan 1

jadi jumlah pembalikannya adalah 5 + 2 + 1 = 8 pembalikan

Perhatikan definisi dibawah ini

DEFINISI 2.1.2 Jika dalam suatu permutasi terdapat jumlah pembalikan yang genapmaka permutasi tersebut disebut permutasi genap, begitu juga jika terjadi jumlah pembalikan yang ganjil maka disebut dengan permutasi ganjil

CONTOH 2.1.4 Dari Contoh 2.1.1 hasil permutasi tercantum dalam tabel berikut

Hasil kali dasar dari suatu matriks persegi yaitu perkalian dari semua elemen matriks terhadap elemen matriks yang lain dengan mengikuti aturan tertentu. Jika matriks tersebut berukuran n x n, maka perkalian dasarnya terdiri dari n elemen yaitu

a1_a2_ a3 … an_

sedangkan banyaknya perkalian dasar adalah n! yaitu banyaknya permutasi yang diisikan pada tanda setrip dan tanda positif atau negatif tergantung dari hasil pembalikan, jika permutasi genap bertanda positif dan sebaliknya permutasi ganjil betanda negatif.

Perhatikan definisi fungsi determinan berikut ini

DEFINISI 2.1.3 Pandang matriks A matriks persegi.  Fungsi determinan A atau biasanya disingkat dengan determinan A dinyatakan dengan det(A) sebagai jumlahan hasil kali dasar beserta tanda dari A.

Akan lebih jelas perhatikan contoh-contoh berikut

CONTOH 2.1.5 Hitung determinan dari matriks persegi A berukuran 2 x 2, misalkan

Sekarang perhatikan contoh untuk matriks berukuran 3 x 3 berikut ini

CONTOH 2.1.6 Hitung determinan dari matriks persegi A berukuran 3 x 3, misalkan

Sehingga

Contoh yang lain

CONTOH 2.1.7 Hitung determinan dari matriks persegi A berukuran 3 x 3, misalkan

2.      Cara Lain Menghitung Determinan

Pada bagian ini akan dikenalkan cara menghitung determinan dari suatu matriks. Cara ini merupakan gabungan dari modul sebelumnya yaitu mereduksi suatu matriks sedemikian hingga matriks tersebut menjadi bentuk baris eselon tereduksi. Metode ini akan mempermudah mencai nilai determinan untuk ukuran yang besar. Perhatikan teorema berikut ini

TEOREMA 2.2.1 Pandang matriks persegi A,

a. Jika A mempunyai sebuah atau lebih baris (kolom) nol semua, maka det(A) = 0

b. det(A) = det( )

Bukti:

(a)     Untuk mencari nilai dari suatu determinan, hasil kali dasar selalu memuat salah satu

elemen dari baris atau kolom, sehingga perkalian dasaarnya selalu memuat nol. Jadi

nilai determinannya selalu nol

(b)    Sesaui dengan (a) pada hasil kali dasar selalu memuat salsh satu elemen, maka dengan

demikian nilai determinan dari A akan sama dengan .

Teorema dibawah ini akan mempermudah perhitungan dari suatu matriks, yaitu

TEOREMA 2.2.2 Jika matriks persegi A adalah matriks segitiga atas atau bawah,maka det(A)= hasil kali elemen pada diagonalnya

Bukti:

telah dijelaskna diatas bahwa nilai determinan merupakan perkalian dasar yang selalu memuat salah satu elemen pada setiap baris atau kolom, oleh karena itu pada matriks segitiga atas atau bawah untuk baris dan kolom yang tidak sama nilai elemennya nol, sedangkan pada baris atau kolom yang sama elemennya tidak sama dengan nol, sehingga nilai determinan dari matriks segitiga atas atau bawah hanyalah perkalian elemen pada diagonal utamanya saja.

CONTOH 2.2.1 Hitung determinan dari

Teorema dibawah ini menunjukkan bagaimana peran dari OBE yang sudah dibahas pada modul sebelumnya memunyai peran untuk menentukan nilai determinan

TEOREMA 2.2.3 Pandang matriks persegi A berukuran n x n

·         Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A yang dilakukan dengan OBE tunggal yaitu dengan mengalikan dengan k pada salah satu baris atau kolom dari A, maka det(B) = kdet(A)

·         Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A dengan OBE yaitu menukarkan baris atau kolom dari A, maka det(B) = -det(A)

·         Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A dengan OBE yaitu penggandaan dari baris atau kolom dari A kemudian ditambah atau dikurang pada baris atau kolom yang lain, maka det(B) = det(A)

CONTOH 2.2.2 Hitung matriks B yang merupakan baris kedua dari matriks A dikalikan dengan tiga dengan matriks.

Jadi det(B) = 3det(A)

CONTOH 2.2.3 matriks C adalah matriks A pada Contoh 2.2.2 dengan menukarkan baris 1 dengan baris 3, maka

Atau det(C) = -det(A).

CONTOH 2.2.4 matriks D adalah matriks A pada Contoh 2.2.2 dengan baris kedua dikurangi dua kali baris pertama, maka.

atau det(D) = det(A).

Dengan berpedoman pada Teorema 2.2.3 dan beberapa contoh, maka untuk menghitung determinan dari suatu matriks, lakukan OBE sehingga menjadi bentuk baris eselon, kemudian gunakan Teorema 2.2.2, maka akan mudah mencari nilai dari suatu determinan. Perhatikan teorema dibawah ini, yang akan memudahkan perhitungan determinan.

TEOREMA 2.2.4 Jika matriks persegi A mempunyai dua baris atau dua kolom yang sebanding, maka det(A) = 0

CONTOH 2.2.5 Hitung determinan dari

untuk menghitung determinan dari matriks A, lakukan OBE, sedemikian hingga matriksnya menjadi bentuk baris eselon, seperti

Contoh lain dengan menggunakan teorema yang terakhir

CONTOH 2.2.6 Hitung determinan dari

untuk menghitung determinan dari matriks A, lakukan OBE, sedemikian hingga matriksnya menjadi bentuk baris eselon, seperti

karena ada satu baris yaitu baris terakhir mempunyai nilai nol semua sesuai dengan Teorema 2.2.1, maka

det(A) = 0

2. Sifat Fungsi Determinan

Pada bagian ini akan dibahas tentang sifat dari fungsi determinan, dari sifat fungsi determinan tersebut diharapkan wawasan mengenai hubungan antara matriks persegi dan determinannya. salah satunya adalah ada tidak suatu invers matriks persegi dengan menguji determinannya.

Perhatikan teorema dibawah ini

TEOREMA 2.3.1 Misal A, B dan C adalah matriks persegi berukuran n x n yang berbeda di salah satu barisnya, misal di baris ke-r yang berbeda. Pada baris ke-r matriks C merupakan penjumlahan dari matriks A dan B, maka

det(C) = det(A) + det(B)

Begitu juga pada kolomnya

CONTOH 2.3.1 Perhatikan matriks-matriks

perhatikan, hanya pada baris ketiga saja yang berbeda. Dengan menggunakan Teorema 2.3.1,

maka

Contoh diatas adalah penjumlahan dari suatu determinan dengan syarat tertentu, sekarang, bagaimana dengan perkalian.

Perhatikan lemma dibawah ini

LEMMA 2.3.2 Jika matriks persegi A dan matriks dasar E dengan ukuran yang sama,maka berlaku

det(EB) = det(E)det(B)

Bukti:

Telah dipelajari pada modul sebelumnya, bahwa matriks dasar E, jika dikalikan dengan suatu matriks, maka seolah matriks tersebut dilakukan dengan OBE yang sama, jadi

B B’ = EB

dalam hal ini ada beberapa kasus, yang pertama, jika OBEnya adalah mengalikan salah satu baris dengan k, maka

det(EB) = det(E)det(B) = kdet(B)

sedangkan kasus yang lain, menukarkan baris atau menambah pada baris yang lain akan menghasilkan seperti kasus pertama.

Perhatikan teorema dibawah ini

TEOREMA 2.3.3 Suatu matriks persegi A mempunyai invers jika dan jika det(A)  0

Bukti:

Dengan memperhatikan, bahwa suatu matriks persegi jika dilakukan OBE, maka ada dua kemungkinan yaitu mengandung baris yang nol semua atau matriks identitas. Jika matriks elementer dikalikan dengan suatu matriks persegi hasil sama dengan matriks tersebut dilakukan satu OBE. Dan suatu matriks jika mengandung baris atau kolom yang nol semua, maka determinan matriks tersebut adalah nol. Jadi yang mempunyai invers pasti nilai determinannya tidak nol.

Perhatikan teorema dibawah yang mendukung Lemma 2.3.2, yaitu

TEOREMA 2.3.4 Jika A dan B dua matriks persegi berukuran sama, maka

det(AB) = det(A)det(B)

Bukti: Dengan mengasumsikan salah satu matriks tersebut sebagai perkalian dari matriks elementer, misal matriks A, yaitu

A = E1E2E3 …..Er

sedangkan dengan menggunakan Lemma 2.3.2, menjadi

AB = E1E2E3 …..ErB

maka

det(AB) = det(E1)det(E2)det(E3) …… det(Er)det(B)

jadi

det(AB) = det(A)det(B)

CONTOH 2.3.3 Pandang matriks dibawah ini

dengan menghitung, maka

det(A) = -1; det(B) = -7; maka det(AB) = 7

sesuai dengan Teorema 2.3.4

Dari beberapa teorema diatas, jika dihubungkan akan menghasilkan teorema berikut

TEOREMA 2.3.5 Jika matriks persegi A mempunyai invers, maka

Bukti:

Karena A = I, maka det(A) = det(I), sedangkan menurut Teorema 2.3.4, maka

det()det(A) = det(I) = 1 dan det(A)  0, sehingga teorema tersebut terbukti.

3.      Kofaktor dan Matriks Invers

Pada bagian ini akan dibahas tentang kofaktor dan cara mencari invers dengan kofaktor. Ada beberapa hal yang harus diperhatikan sebelumnya, seperti minor, perluasan kofaktor dan invers dari suatu matriks.

Perhatikan definisi dibawah ini

DEFINISI 2.4.1 Jika matriks persegi A, maka minor anggota aij dinyatakan dengan Mij dan didefinisikan sebagai determinan dari sub-matriks dari matriks awal dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j, sedangkan kofaktor anggota aij ditulis

Mij

CONTOH 2.4.1 Pandang matriks persegi

Perluasan kofaktor adalah salah satu cara untuk menghitung determinan dengan menggunakan ,bantuan kofaktor, perhatikan definisi berikut

CONTOH 2.4.2 Hitung determinan dari matriks pada Contoh 2.4.1

Sedangkan yang dimaksud dengan adjoint matriks dapat dilihat pada definisi berikut ini

CONTOH 2.4.3 Cari Adj(A) dari matriks A pada conoth diatas Kofaktor dari A, adalah

C11 = 6 ,  C12 = -6,  C13 = 2

C21 = -5 , C22 = 8,   C23 = -3

C31 = 1,   C32 = -2,  C33 = 1

sehingga matriks kofaktornya adalah

Untuk mencari invers dari matriks persegi yang menggunkan matriks adjoint, perhatikan teorem berikut ini

Bukti:

Dengan menggunakan perluasan kofaktor dapat dengan mudah dibuktikan.

CONTOH 2.4.4 Dari contoh sebelumnya, bahwa persegi,

Dengan menggunakan dari pencarian invers dan perluasan kofaktor dapat dicari penyelesaian SPL dengan menggunakan determinan, perhatikan teorema dibawah ini

Bukti:

Dengan menggunakan definisi invers yang menggunakan adjoint matriks, maka nilai setiap variabel sesuai dengan teorema di atas.

CONTOH 2.4.5 Gunakan aturan Carmer untuk menyelesaikan SPL berikut

x1 +   x2 +   x3 = 6

x1 + 2x1 + 3x3 = 14

x1 + 4x1 + 9x3 = 36

Karena ada tiga varibel bebas, maka ada matriks A, A1, A2 dan A3, yaitu