Selasa, 18 September 2012

TUGAS ALJABAR LINEAR VEKTOR



VEKTOR
1. Pengertian vektor 
  
Pada garis berarah dari titik A ke titik B di R 3 mempunyai panjang tertentu dinyatakan sebagai vektor. Vektor dapat dinotasikan dengan : 
  
Atau dapat juga dinyatakan sebagai :   
Dimana   adalah vektor satuan. 

2. Panjang Vektor 
Jika titik A (x1,y1,z1) dan B (x2,y2,z2) maka vektor AB adalah : 
  
  
  

  

3. Vektor Satuan 
Vektor satuan adalah adalah vektor yang panjangnya satu satuan.
Jika vektor   
maka vektor satuan dari a adalah: 
  
4. Operasi Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Vektor dangan Skalar 
a. Penjumlahan atau pengurangan vektor 
  

Contoh : 

Diketahui vektor 
Nilai   
Jawab : 

  

  

b. Perkalian Skalar dengan vektor 
  
5. Rumus Perbandingan, Perkalian Skalar Proyeksi dan Perkalian Silang Vektor 
a. Perkalian Skalar 
  
b. Cross Product 

  
  
  
  
  
  
  
  
d. Rumus Pembagian 

  
  
Contoh : 
Diketahui titik A (-4, 1, 3 ), B (6, -4, 3) dan C (4, 5, -1) Titik R membagi AB sehingga 2AR = 3RB, vektor yang mewakili   adalah : 
Jawab : 
 
»»  BACA SELENGKAPNYA...
Diposting oleh di Tidak ada komentar:

TUGAS ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR

TRANSFORMASI LINEAR
Fungsi dari Rn ke Rm
Jika daerah asal suatu fungsi f adalah Rn dan daerah kawannya adalah Rm (m dan n mungkin sama), maka f disebut suatu peta atau transformasi dari Rn ke Rm dan dikatakan bahwa f memetakan Rn ke Rm.
Untuk mengilustrasikan suatu cara penting dimana transformasi bisa muncul, anggap f1, f2, …, fn adalah fungsi-fungsi bernilai real dari n peubah real:
w1 = f1(x1, x2, …, xn)
w2 = f2(x1, x2, …, xn)
…
wm = fm(x1, x2, …, xn)
m persamaan tersebut menempatkan suatu titik (w1, w2, …, wm) dalam Rm ke setiap titik (x1, x2, …, xn) dalam Rn, yang mendefinisikan suatu transformasi dari Rn ke Rm, yang dapat dinyatakan sebagai:
T(x1, x2, …, xn) = (w1, w2, …, wm)
dimana T adalah transformasi yang terbentuk.
Contoh:
Diketahui transformasi T:R2 à R3 ­ yang didefinisikan sebagai berikut:
w­1 = x1 + x2
w2 = 3x1x2
w3 = x12 – x22
maka bayangan titik (x1,x2) adalah:
T(x1,x2) = (x1 + x2, 3x1x2, x12 – x22)
Jika diandaikan x1=2 dan x2=-1, maka T(2,-1) = (1, -6, 3)
Transformasi Linear dari Rn ke Rm
Untuk transformasi linear, secara umum T:Rn à Rm dapat didefinisikan sebagai berikut:
w1 = a11x1 + a12x2 + … + a1nxn
w2 = a21x1 + a22x2 + … + a2nxn
…
wm = am1x1 + am2x2 + … + amnxn
atau dalam notasi matriks:
atau dapat diringkas menjadi:
W = A.x
dimana A adalah matriks standar untuk transformasi linear T
Contoh:
Transformasi linear T:R4 à R3 didefinisikan oleh:
w1 = 2x1 – 3x2 + 5x3
w2 = 5x1 – x2 + 3x3 + 2x4
w3 = 4x2 + x3 + 4x4
Ketiga persamaan tersebut dapat dinotasikan sebagai:
Sehingga matriks standar untuk transformasi tersebut adalah: A =
Bayangan titik (x1, x2, x3, x4) dapat dihitung dari ketiga persamaan awal atau dari notasi matriksnya.
Jika (x1, x2, x3, x4) = (1, -1, 2, 0) maka hasil transformasinya adalah:
Macam-macam Transformasi Linear
Terdapat 4 transformasi linear yang dibahas yaitu:
1.    Refleksi (Pencerminan)
2.    Proyeksi
3.    Rotasi (Perputaran)
4.    Dilatasi (Penskalaan)
Refleksi (Pencerminan)
Refleksi di R2 terbagi menjadi 3 yaitu:
·        
Titik awal: (x,y)
Titik akhir: (-x,y)
Persamaan: w1 = -x
                 w2 = y
Matriks standar:
 
Refleksi terhadap sumbu y
·        
Titik awal: (x,y)
Titik akhir: (x,-y)
Persamaan: w1 = x
                 w2 = -y
Matriks standar:
 
Refleksi terhadap sumbu x
·         Refleksi terhadap garis x = y
Titik awal: (x,y)
Titik akhir: (y,x)
Persamaan: w1 = y
                 w2 = x
Matriks standar:
 
Refleksi di R3 terbagi menjadi 3 yaitu:
·        
Titik awal: (x,y,z)
Titik akhir: (x,y,-z)
Persamaan: w1 = x
                 w2 = y
                 w2 = -z
Matriks standar:
 
Refleksi terhadap bidang xy

·         Refleksi terhadap bidang xz
Titik awal: (x,y,z)
Titik akhir: (x,-y,z)
Persamaan: w1 = x
                 w2 = -y
                 w2 = z
Matriks standar:
 
·         Refleksi terhadap bidang yz
Titik awal: (x,y,z)
Titik akhir: (x,y,-z)
Persamaan: w1 = -x
                 w2 = y
                 w2 = z
Matriks standar:
 
Proyeksi
Proyeksi di R2 terbagi menjadi 2 yaitu:
·         Proyeksi terhadap sumbu x
Titik awal: (x,y)
Titik akhir: (x,0)
Persamaan: w1 = x
                 w2 = 0
Matriks standar:
 
·         Proyeksi terhadap sumbu y
Titik awal: (x,y)
Titik akhir: (0,y)
Persamaan: w1 = 0
                 w2 = y
Matriks standar:
 

Proyeksi ortogonal di R3 terbagi menjadi 3 yaitu:
·        
Titik awal: (x,y,z)
Titik akhir: (x,y,0)
Persamaan: w1 = x
                 w2 = y
                 w2 = 0
Matriks standar:
 
Proyeksi ortogonal terhadap bidang xy
·        
Titik awal: (x,y,z)
Titik akhir: (x,0,z)
Persamaan: w1 = x
                 w2 = 0
                 w2 = z
Matriks standar:
 
Proyeksi ortogonal terhadap bidang xz
·         Proyeksi ortogonal terhadap bidang yz
Titik awal: (x,y,z)
Titik akhir: (0,y,z)
Persamaan: w1 = 0
                 w2 = y
                 w2 = z
Matriks standar:
 
Rotasi (Perputaran)
Rotasi dengan sudut q di R2 adalah:
Titik awal: (x,y)
Titik akhir: (w1,w2)
Matriks standar:
Searah:
 

Rotasi di R3 terbagi menjadi 3 yaitu:
·         Rotasi berlawanan dengan jarum jam terhadap sumbu x positif dengan sudut q
Titik awal: (x,y)
Titik akhir: (w1,w2,w3)
Matriks standar:
 
·         Rotasi berlawanan dengan jarum jam terhadap sumbu y positif dengan sudut q
Titik awal: (x,y)
Titik akhir: (w1,w2,w3)
Matriks standar:
 
·         Rotasi berlawanan dengan jarum jam terhadap sumbu z positif dengan sudut q
Titik awal: (x,y)
Titik akhir: (w1,w2,w3)
Matriks standar:
 
Dilatasi (Penskalaan)
Dilatasi di R2 terbagi menjadi 2 yaitu:
·        
Titik awal: (x,y)
Titik akhir: (kx,ky)
Persamaan: w1 = kx
                 w2 = ky
Matriks standar:
 
Penyempitan dengan faktor k pada R2 (0 £ k £ 1)

·        
Titik awal: (x,y)
Titik akhir: (kx,ky)
Persamaan: w1 = kx
                 w2 = ky
Matriks standar:
 
Pelebaran dengan faktor k pada R2 (k ³ 1)
Dilatasi di R3 terbagi menjadi 2 yaitu:
·         Penyempitan dengan faktor k pada R3 (0 £ k £ 1)
Titik awal: (x,y,z)
Titik akhir: (kx,ky,kz)
Persamaan: w1 = kx
                 w2 = ky
                 w3 = kz
Matriks standar:
 
·         Pelebaran dengan faktor k pada R3 (k ³ 1)
Titik awal: (x,y,z)
Titik akhir: (kx,ky,kz)
Persamaan: w1 = kx
                 w2 = ky
                 w3 = kz
Matriks standar:
 
Komposisi Transformasi Linear
Komposisi transformasi linear merupakan perpaduan dua atau lebih transformasi linear.
T1 : à , T2 : à , …, Tz : à
Dituliskan sebagai:
(Tz o ... o T2 o T­1) (x) = Tz(...(T2(T1(x))...)
»»  BACA SELENGKAPNYA...
Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)